כלל נסיגה שאינו חשבוני ואינו הנדסיאינדוקציה 571 · שיעור 17

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 17: כלל נסיגה שאינו חשבוני ואינו הנדסי

פרק 4 – סדרות: כלל נסיגה ונוסחה לפי מקום

1נוסח השאלה

2סעיף א – האיברים הראשונים

3סעיף ב – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: a₁ = 1, a_{n + 1} = 2a_n + 1.

א. חשבו את a₂, a₃, a₄.

ב. הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים: a_n = 2ⁿ − 1.

סעיף א – האיברים הראשונים

a₂ = 2 · 1 + 1 = 3

📐 כלל הנסיגה

a₃ = 2 · 3 + 1 = 7

a₄ = 2 · 7 + 1 = 15

✅ פתרון סופי: a₂ = 3, a₃ = 7, a₄ = 15

📐 כלל הנסיגה

a_{n + 1} = 2a_n + 1

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

לפי הנתון a₁ = 1. לפי הנוסחה:

2¹ − 1 = 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

a_k = 2^k − 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

a_k = 2^k − 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

a_{k + 1} = 2^{k + 1} − 1

לפי כלל הנסיגה:

📐 כלל הנסיגה

a_{k + 1} = 2a_k + 1

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

📐 כלל הנסיגה

a_{k + 1} = 2a_k + 1

📐 הנחת האינדוקציה

a_k = 2^k − 1

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

נציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= 2(2^k − 1) + 1

= 2 · 2^k − 2 + 1

📐 חוקי חזקות

= 2^{k + 1} − 1 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הנחת האינדוקציה

a_k = 2^k − 1

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^{m + n}

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא